Lösungen zur Testklausur

GK 2011/2012


Aufgabe 1)


In diesem Falle bietet sich die Analyse der Bewegungsabläufe an:

Ohne Baustelle befährt der Zug mit gleichförmiger Bewegung den Streckenabschnitt. Es gilt sx= v *t , v = 108 km/h t= ist unbekannt weil sx nicht bekannt ist. Für Sx muss aber gelten sx > 500 m + 300 m = 800 m.

  1. Bewegungsabläufe durch das Hindernis „Baustelle“ bedingt.

    2. Berechnen vom Bremsweg: es gilt (Gl. I) s = ½a * t² und (Gl. II) v = a*t ==> wegen der in der Aufgabenstellung angegebenen Verzögerung von a = 0,4 m/s² kann t ersetzt werden. v=a*t ==> t= v/a; Einsetzen in (Gl.I) liefert den Weg wie folgt: s = ½a * (v/a)². Ausrechnen ergibt s = ½ v²/a = 20²/2*0.4 das heißt s = 400/0.8 = 500 m Der Bremsweg beträgt 500 m. Welche Zeit benötigt der Zug dafür? tbr = v/a = 20/0,4 = 50 s

    3. Geschwindigkeit-Zeitgesetz für die gleichförmigeBewegung v = s/t ==> für die Zeit tla = s/v = 500 / 10 = 50 s

    4. Auf den restlichen 300 m beschleunigt der Zug wieder auf 108 km/h. Es gilt jetzt die Zeit zu ermitteln. Wie groß die Beschleunigung ist, wissen wir nicht. Also muss a mittels t ausgedrückt werden. a = v/t ==> s = ½a * t² Einsetzen gibt: s= ½(v/t) * t² = ½ v*t ==> s= ==> 300*2 = t = 30 s

    20

    5. Addieren der Zeitabschnitte t ges = 50s + 50s +30s = 130 s

    6. Für die Gesamtstrecke sges = benötigt der Zug ohne Baustelle die Zeit von t = 1300/30 = 43,3 s. Das ergibt eine Verspätung von

    tv = 130 – 43.3 = 86.7 s Gar nicht einmal soviel, wie man anfangs vielleicht vermutete.



Aufgabe 2


Ein Auffahrunfall, wie er gar nicht so selten ist. (Gl. I) s = ½a * t² und (Gl. II) v = a*t

a = ? und t kennen wir nicht. Daher eliminieren wir t : t = v/a ==> s = ½a* (v/a)² so

erhalten wir: s = a * v² = a = v= 30 km/h = 8.33 m/s , s = 0,2 m

2*a² 2*a 2*s

a = 8.33² = 173.61 m/s² g = 9.81 m/s² ==> Bei dem Aufprall herrscht

2 * 0.2

von 173.61/9.81 = 17,7 g also dem über 17fachen der Erdbeschleunigung. Man denke daran, was passiert, wenn der Sicherheitsgurt nicht angelegt ist.


Aufgabe 3


3.1: v=s/t ==> t = s/v ==> 55 * 106 = 55 * 10² = 5500 h


3.2: 104

a = 1.0*10-3 m/s² s = ½a * t² v = a*t t = ? und v = ? Es soll v ermittelt werden, deshalb wird t eliminiert. t = v/a ==> s = a * (v/a)²

2

s = a * v²/a² = ==> s * 2 * a = v² | ²

2 2*a


s * 2 * a = v 27,5*109 * 2 * 10-3 = v

@

Die Strecke s muss noch wegen der Umrechnung km → m mit dem Faktor 1000 multipliziert werden.


v = 7 416 m/s = 26698,0 km/h


3.3:

Die Rakete 2 ist mehr als doppelt so schnell t = v/a = 7416000 s = 2060 h

ist die Zeit für die halbe Strecke. Sie braucht insgesamt also nur 4120 h.


Aufgabe 4


Für den freien Fall gilt: s = g * t² ==> t = 2*s t = 3,5 s

2 g


v = g * t ==> v = 9,81 * 3.5 = 34 m/s




Aufgabe 4


Diese Aufgabe ist die schwierigste dieser Art. Halten wir zunächst die Analyse der Bewegungen fest. Zwei Autos haben zum Zeitpunkt einen Abstand von genau d = 57 m voneinander. Beide Autos beschleunigen konstant. Es liegt also bei beiden Fahrzeugen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.

Nehmen wir also an, es handelt sich um eine enge Straße wie zwischen Tondorf und Engelgau (Eifel), wo aus eigenem Erleben bei dem Aufeinandertreffen der Rückspiegel abgefahren wurde. Betrachten wir die Kurvenform der Gleichung: s = ½a * t² Es handelt sich um eine Parabel. Der Faktor ½a ist ein Maß für die Öffnung der Parabel. Tragen wir die Parabel in ein Koordinatensystem ein, so ist es sinnvoll die X-Achse (Abzisse) als Zeitachse zu wählen und die Y-Achse (Ordinate) für den Abstand zu bestimmen. Fahrzeug A startet zum Zeitpunkt t=0 und ist 57 m vom anderen Fahrzeug entfernt. Also liegt der Seitelpunkt der Parabel im Punkt S= (0|57). Fahrzeug A bewegt sich auf Fahrzeug B zu. Das heißt der Abstand nimmt ab. Damit muss die Parabel für A ein negatives Vorzeichen haben. Es gilt also yA = - 2.5 * t² + 57 . Für das Fahrzeug B gilt eine etwas andere Funktion. 2


Es startet zum Zeitpunkt t=2 und besitzt eine flachere Öffnung. Die Parabel ist nach oben geöffnet und auf der X-Achse nach rechts mit ihrem Scheitelpunkt s = (2|0) verschoben. Es gilt nun herauszufinden, welche Fubnktionsgleichung für die Parabel B gilt. Wir wissen aus dem Katalog der Parabeleigenschaften, dass eine nach rechts auf der X-Achse verschobene Parabel ein negatives lineares Glied haben muss. Also etwa wie folgt:

yB = a t² – bt ==> yB = 1.5 * t² – bt Wir wissen aber auch, dass der

2 2

Scheitelpunkt zugleich eine zweifache Nullstelle ist. Deshalb gilt:

yB = 0 = 1.5 * 2² - b*2 = 1.5*2 -2*b = 3 – 2*b = 0 ==> b = 1,5

2

yB = 0,75*t² – 1,5*t yA = -1,25*t² + 57

Wenn sich die Fahrzeuge treffen, muss das der Schnittpunkt der beiden Parabeln sein.


Es gilt daher: 0,75*t² – 1,25*t = -1,25*t² + 57 | + 1.25t² |-57

2*t² – 1,5*t – 57 = 0 Quadratische Gleichung


Wir wenden die p-q Formel an, nachdem wir durch 2 geteilt haben.

t² – 0,75*t – 28,5 = 0 p=-0,75 q=-28,5


x1,2= -p/2 ! p²/4 – q Die p-q Formel


t = 0,375 + 28,64 = 0,375+5,35 Die zweite Lösung von t macht keinen


Sinn, weil wir eine negative Zeit erhalten würden. t = 5,73 s

Das Zusammentreffen würde also nach t= 5,73 s stattfinden. Um den Ort zu ermitteln setzen wir das in die Gleichung des Fahrzeuges A ein:

yA = -1,25 * 5,73² + 57 = 16 m yB = 0,75 * 5,73² – 1,5 * 5,73 = 16,03 m

Das Zusammentreffen würde bei y = 16 m stattfinden.


Das Plotter-Programm „Lybniz“ zeigt die grafische Auswertung.



Aufgabe 6



Abbildung 1: Formeln für den horizontalen Wurf










a)

h = 2,5 m Effet ist eine Bezeichnung aus dem Billard und meint den Drall des Balles.


Einsetzen ergibt t = 2*2,5 = 0,51 s

9,81


b) t = 0,51 ==> x= v*t ==> v = x/t ==> v = 35/0,51 = 17,83 m/s


  1. Bei dem lotrechten Wurf nach oben gilt h max= = 17,83² = 16,2 m

    2g 2*9,81

    1. die Steigzeit auf max. Höhe ist t = v/g es gilt bis zum Wiederauftreffen:

      tw = 2* (v/g) = 2*17,83/9,81 = 3,62 s